Question

【题目】如图，已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意-一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，连接，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)若、是曲线上关于原点对称的两个点，点是曲线.上任意-一点(不同于点、)，当直线、的斜率都存在时，记它们的斜率分别为、，求证:的为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据中垂线的性质可得，可得，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出轨迹方程．

（2）设的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，表示出

、，由、、在椭圆上，则满足椭圆方程，消去即可得为一个定值．

(1)解:在线段的中垂线上，

，

，

又

点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，

，，即，，

，

曲线的方程为.

(2)设曲线上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，

故，，

由斜率公式得，

又，，

因此，斜率之积为定值.