Question

（2010•宜春模拟）已知线段CD=2

3

，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系，对开2a与2

3

的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点A所在的曲线；
（2）当a=2时，其曲线方程为椭圆

x2

4

+y2=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题．

解答：解：（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系
若AC+AD=2a＜2

3

，即0＜a＜

3

，动点A所在的曲线不存在；
若AC+AD=2a=2

3

，即a=

3

，动点A所在的曲线方程为y=0(-

3

≤x≤

3

)；
若AC+AD=2a＞2

3

，即a＞

3

，动点A所在的曲线方程为

x2

a2

+

y2

a2-3

=1（4分）
（2）当a=2时，其曲线方程为椭圆

x2

4

+y2=1
由条件知A，B两点均在椭圆

x2

4

+y2=1上，且OA⊥OB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），
则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-

1

k

x，解方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x

2 1

=

4

1+4k2

，

y

2 1

=

4k2

1+4k2

同理可求得

x

2 2

=

4k2

k2+4

，

y

2 2

=

4

k2+4

，
△AOB面积S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

（8分）
令1+k²=t（t＞1）则S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

(t＞1)所以4＜g(t)≤

25

4

，即

4

5

≤S＜1
当k=0时，可求得S=1，故

4

5

≤S≤1，故S的最小值为

4

5

，最大值为1（12分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．属于中档题．