Question

已知函数，；
(Ⅰ)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；
(Ⅱ)令，是否存在实数，当 (是自然对数的底数)时，函数的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据原函数的单调性转化为导数来求；（Ⅱ）利用导数分析单调性，进而求最值.
试题解析：（Ⅰ）若函数在[1,2]上是减函数，
则在[1,2]上恒成立
令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立
∴得，∴a≤            6分
（Ⅱ）假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3
g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 
①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减
∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)
②当0<<e即a>时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0
∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增
∴g(x)_min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e²满足条件
③当≥e即0<a≤时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减
g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3
∴a＝> (舍去)
综上所述，存在a＝e²使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3     .15分