Question

【题目】已知函数．

（）讨论函数在定义域内的极值点的个数．

（）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．

（）当且时，试比较与的大小．

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】分析：（1）求出函数的定义域和导函数，通过讨论的符号确定导函数的符号变化，进而得到函数的单调性和极值点的个数；（2）先利用（1）求出，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）利用（2）结论合理赋值即可.

解析：（）函数的定义域为，．

①当时，在上恒成立，在上单调递减，

∴在上没有极值点．

②当时，令得，

令得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处有极小值，

；

综上所述，当时，在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．

（）∵函数在处有极值，

∴由（）可知，解得：，

∴，

对，恒成立，等价于，恒成立，

则，

令，则，

令，解得，令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

在处取得最小值，，

∴，

故实数的取值范围是．

（）由（）知在上为减函数，

∴且时，有，

即，整理得①，

当时，，由①得，；

当时，，由①得，．