Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与平行的直线与曲线交于，两点．且在轴的截距为整数，的面积为，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．．（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）利用消参法将参数方程转化为普通方程，由极坐标与直角坐标方程转化公式，即可得直线的直角坐标方程.

（Ⅱ）由与平行，可设直线：，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由圆的几何性质求得，结合三角形面积公式即可求得整数的值.

（Ⅰ）曲线C的参数方程，化为普通方程为．

由，

因为，，代入可得直线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的直角坐标方程为，．

设直线：，由题知．

所以到直线的距离，

所以，

的面积为，所以，

整理得，

所以或，

因为，所以或．

所以直线的方程为或．