Question

【题目】已知函数f（x）=x+ （x＞0）过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，设g（t）=|MN|，若对任意的正整数n，在区间[2，n+ ]内，若存在m+1个数a1 ， a2 ， …am+1 ， 使得不等式g（a1）+g（a2）+…g（am）＜g（am+1），则m的最大值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

∵f′（x）=1﹣ ，

∴切线PM的方程为：y﹣（x1+ ）=（1﹣ ）（x﹣x1），

又∵切线PM过点P（1，0），∴有0﹣（x1+ ）=（1﹣ ）（1﹣x1），

即x12+2tx1﹣t=0，（1）

同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）

由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，

∴x1+x2=﹣2t，x1x2=﹣t（*）|MN|=

= ，

把（*）式代入，得|MN|= ，

因此，函数g（t）的表达式为g（t）= ，t＞0，

知g（t）在区间[2，n+ ]为增函数，

∴g（2）≤g（ai）≤g（n+ ）（i=1，2，m+1），

则mg（2）≤g（a1）+g（a2）+…+g（am）≤mg（n+ ）．

依题意，不等式mg（2）＜g（n+ ）对一切的正整数n恒成立，

m ＜ ，

即m＜ 对一切的正整数n恒成立．

∵n+ ≥2 =16，∴ ≥ = ，

∴m＜ ．由于m为正整数，∴m≤6．

又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．

因此，m的最大值为6．

故选：B．