Question

已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.

Answer 1

活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.

解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.

∴S=l·r= (a-2r)·r=-r²+r=-(r-)²+.

∵r＞0,l=a-2r＞0,∴0＜r＜.

∴当r=时,=此时,l=a-2·=,∴α==2.

故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值

点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.