Question

已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x₁、x₂，方程f（x）=m有两个不同的实根x₃、x₄．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可知：x₁=

π

2

，x₂=

3π

2

，且x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．

解答：解：由题意可知：x₁=

π

2

，x₂=

3π

2

，且x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间或两侧，
若x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间，则公差d=

3π 2 - π 2

3

=

π

3

，
故x₃、x₄分别为

5π

6

、

7π

6

，此时可求得m=cos

5π

6

=-

3

2

；
若x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的两侧，则公差d=

3π

2

-

π

2

=π，
故x₃、x₄分别为-

π

2

、

5π

2

，不合题意．
故选D

点评：本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．