Question

【题目】设函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数的单调减区间是；单调增区间是；当时，函数的单调增区间是；无单调减区间；当时，函数的单调减区间是；单调增区间是.(2) 存在整数满足题意，且的最小值为0.

【解析】试题分析：

本题考查用导数讨论函数的单调性和用导数解决函数中的能成立问题.（1）求导后根据导函数的符号判断函数的单调性.（2）由题意只需求出函数的最小值即可，根据函数的单调性求解即可.

试题解析：

⑴由题意得函数的定义域为.

∵，

∴，

①当时，

则当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.

②当时， 恒成立， 上单调递增.

③当时，

则当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.

综上，当时， 上单调递减，在上单调递增；

当时，函数上单调递增；

当时， ，在上单调递增.

(2)当时， ，

∴，

∴函数单调递增，

又， ，

所以存在唯一的，使得，

且当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，

所以，

设，

则在上单调递减，

所以，即.

若关于的不等式有解，则，

又为整数，所以.

所以存在整数满足题意，且的最小值为0.