Question

设O为复平面的原点，Z₁和Z₂为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z₁和Z₂所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0＜θ＜

π

2

)；
（2）△OZ₁Z₂的面积为定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所对应的复数的模的最小值．

Answer 1

分析：设出Z₁，Z₂和Z对应的复数分别为z₁，z₂和z，由于Z是△OZ₁Z₂的重心，表示其关系，求解即可．

解答：解：设Z₁，Z₂和Z对应的复数分别为z₁，z₂和z，其中
z₁=r₁（coθ+isinθ），
z₂=r₂（coθ-isinθ）．
由于Z是△OZ₁Z₂的重心，根据复数加法的几何意义，
则有3z=z₁+z₂=（r₁+r₂）cosθ+（r₁-r₂）isinθ．
于是|3z|²=（r₁+r₂）²cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²cos²θ+4r₁r₂cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²+4r₁r₂cos²θ
又知△OZ₁Z₂的面积为定值S及sin2θ＞0(0＜θ＜

π

2

)，
所以

1

2

r1r2sin2θ=S，即r1r2=

2S

sin2θ

由此，|3z|2=(r1-r2)2+

8Scos2θ

sin2θ

=(r1-r2)2+4Sctgθ
故当r₁=r₂=

2S sin2θ

时，|z|最小，且|z|最小值=

2

3

Sctgθ

．

点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，是中档题．