Question

若不等式（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是

1≤m＜19

．

Answer 1

分析：此题要分两种情况：①当m²+4m-5=0时，解出m的值，进行验证；②当m²+4m-5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m的范围．

解答：解：①当m²+4m-5=0时，得m=1或m=-5，
∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意
当m=-5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；
∴m=1；
②m²+4m-5≠0时即m≠1，且m≠-5，
∵（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0对一切实数x恒成立
∴有

m2+4m-5＞0 △=16(m-1)2-12(m2+4m-5)＜0

解得1＜m＜19
综上得 1≤m＜19
故答案为1≤m＜19．

点评：此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m²+4m-5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了；