Question

(1)在△ABC中,D是上一点,=,设=a,=b,试用a、b表示.

(2)设DEF三等分△ABC所在各边，即BC=3BD,CA=3CE,AB=3AF(如图).

求证:△ABC与△DEF有相同的重心.

Answer 1

思路解析：(1)一个向量用其他的向量来表示,就要找出向量间的关系,要结合具体图形来找.

充分利用条件=来建立关系.

(2)两个三角形重心重合,可考虑一个三角形的重心也是另一个的重心,用向量来证也就是△ABC重心O也满足++=0.

解:(1)在△ABC中,

+==a.        ①

在△ACD中，

=+=b+.    ②

又=2,∴==(+)=(a-b).        ③

由①②③得=a+b.

(2)设△ABC的重心为O，P是的中点,则+=2.

∵O是△ABC的重心,

∴=2.

∴+=,

即++=0.

而++=(+)+(+)+(+)

=(++)+(++)

=++

=++

=(++)

=0.

∴点O也是△DEF的重心.

故△DEF和△ABC的重心重合.