Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， =a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2 +3．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=2时，f（x）=|x﹣2|，

则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，

即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；

当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，

当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，

综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）

（2）

解：若f（x）≤1的解集为[0，2]，

由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．

即 得a=1，

即 =a=1，（m＞0，n＞0），

则m+4n=（m+4n）（ ）=1+2+ ≥3+2 =2 +3．

当且仅当 ，即m2=8n2时取等号，

故m+4n≥2 +3成立

【解析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．