Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个项点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，再把已知坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得的值，即可求解椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长及中点坐标，得到所在的直线方程，再与椭圆方程联立，求得的坐标，分别化简和，即可证明结论．

试题解析：（1）由已知，，又椭圆过点，

故，解得，∴，

所以椭圆的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）设直线的方程为，

由方程组得，①

方程① 的判别式为，由，即，解得．

由①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以点坐标为，直线方程为．

由方程组得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，

又

．

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分