Question

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

OP

 • 

QF

=

FP

 • 

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知

MA

=λ 

AF

，

MB

= λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=-1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（-1，y），则我们根据

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ₁+λ₂的值．
解法二：（1）由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得

FQ

•(

PQ

+

PF

)=0，进而可得|

PQ

|=|

PF

|．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=-1，易得抛物线方程；
（2）由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，得λ₁•λ₂＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，转化为

| MA |

| MB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，进而求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化简得C：y²=4x．

（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M(-1，-

2

m

)，
联立方程组

y2=4x x=my+1

，
消去x得：y²-4my-4=0，
∴△=（-4m）²+16＞0，
故

y1+y2=4m y1y2=-4

由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

得：
y1+

2

m

=-λ1y1，y2+

2

m

=-λ2y2，
整理得：λ1=-1-

2

my1

，λ2=-1-

2

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

2

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

2

m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

2

m

•

4m

-4

=0．
法二：（Ⅰ）由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：

FQ

•(

PQ

+

PF

)=0，
∴(

PQ

-

PF

)•(

PQ

+

PF

)=0，
∴

PQ

2-

PF

2=0，∴|

PQ

|=|

PF

|．
所以点P的轨迹C是抛物线，
由题意，轨迹C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
得λ₁•λ₂＜0．则：

| MA |

| MB |

=-

λ1| AF |

λ2| BF |

．①
过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，则有：

| MA |

| MB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

．②
由①②得：-

λ1| AF |

λ2| BF |

=

| AF |

| BF |

，
即λ₁+λ₂=0．

点评：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．