Question

已知等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设a≠1，n≥2，记bn=

an

a2n+an-2

，Tn=b2+b3+…+bn．
（i）证明：bn=-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]；
（ii）若Tn＞

7

60

，求n的所有可能取值．

Answer 1

分析：（I）由等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，知a+a²+a³=3a，a≠0，由此能求出a．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=

an

a2n+an-2

=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

，由-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

．能够证明bn=-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]．
（ii）由（i）知：Tn=-

1

3

(

1

-3

-

1

(-2)n-1

)＞

1

60

，即

1

(-2)n-1

＞

1

60

，由此能求出n的所有可能取值．

解答：解：（I）∵等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或an=(-2)n．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=

an

a2n+an-2

=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

，
∵-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]
=-

1

3

•

[(-2)n-1]-[(-2)n-1-1]

[(-2)n-1-1][(-2)n-1]

=-

1

3

•

(-2)n-(-2)n-1

(-2)2n-1-(-2)n-(-2)n-1+1

=-

1

3

•

-3(-2)n-1

(-2)2n-1+(-2)n-1+1

=

(-2)n-1•(-2)

[(-2)2n-1+(-2)n-1+1]•(-2)

=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

．
∴bn=-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]．
（ii）由（i）知：
Tn=-

1

3

(

1

-3

-

1

(-2)n-1

)＞

1

60

，
即

1

(-2)n-1

＞

1

60

，
若n为奇数，则

1

(-2)n-1

＜0，舍去
若n为偶数，则

1

2n-1

＞

1

60

，
即2ⁿ-1＜60，2ⁿ＜61＜64=2⁶，得n＜6，
故n=2或n=4．

点评：本题考查数列的综合应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．