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    （本题满分14分）

    抛物线D以双曲线的焦点为焦点．

       （1）求抛物线D的标准方程；

       （2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；

       （3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

     

    【答案】

    （1）

    （2）（1，1）

    （3）证明见解析。

    【解析】（1）由题意，

    所以，抛物线D的标准方程为                                          …………3分

       （2）设

    由

    抛物线D在点A处的切线方程为…………4分

    而A点处的切线过点

    即

    同理，

    可见，点A，B在直线上．

    令

    所以，直线AB过定点Q（1，1）                                                                …………6分

       （3）设

    直线PQ的方程为

    由

    得

    由韦达定理，                      …………9分

    而

                                                                          …………12分

    将代入方程（*）的左边，得

    （*）的左边

    =0．

    因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．                                                     …………14分

     

     

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    π
    3
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    ；如果没有，请说明理由?(注：区间的长度为).

     

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