Question

如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE，
（2）令AC=x，V（x） 表示三棱锥A-CBE的体积，当V（x） 取得最大值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC
∵DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC，∴BE⊥AB，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB==，AB=2得BE=
在Rt△ABC中，∵BC==（0＜x＜2）
∴S_△ABC=AC•BC=
∴V（x）=V_C-ABE=V_E-ABC=S_△ABC•BE==（0＜x＜2）
∵0＜x＜2，∴≤=2
∴V（x）≤，当且仅当x²=4-x²，即x=时，V（x）取得最大值，AC=
这时△ABC为等腰直角三角形
建立如图所示的坐标系，

C（0，0，0），A（，0，0），E（0，，），D（0，0，），=（-，0，）
设平面AEC的法向量，则，∴，∴可取=（0，-，）
设直线AD与平面ACE所成角为θ，则sinθ=cos＜＞===
故直线AD与平面ACE所成角的正弦值为
分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2）先利用等体积法表示出三棱锥A-CBE的体积，利用基本不等式求最值，再建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得直线AD与平面ACE所成角的正弦值．
点评：本题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及简单组合体体积的计算，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．