Question

如图所示，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱锥的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

Answer 1

解：解法一：(1)由正三棱锥的性质知AC⊥BD．

∵EF//AC，∴EF⊥BD．又FF⊥ED．故EF⊥平面ABD，

即AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD．

    又∵A―BCD为正三棱锥，∴AB⊥AD，

    从而AB=AC=AD=BC=

    设ABCD中心为O，则棱锥高为

AO=

  =

(2)过E作EF⊥BO于H，则EH//AO，即

EH⊥平面BCD。又过H作HG⊥DF于G，

连接EG，则EG⊥DF，故∠HGE为二面角E FD―B的平面角，如图a所示．

∵EH=AO=，HG=BF=，

∴，

∠EGH=．

解法二：

(1)建立如图b所示的空间直角坐标系，

则B、C、D坐标为B(0，0，0)、C(，1，0)、D(0，2，0)，

若设棱锥高为h，又A在BCD面上的射影为△BCD中心，

则A的坐标为(，1，h)．

∵E、F 为AB、BC的中点，∴E(，，)，

F(，，0)

∵EF⊥DE，∴

即(，0，)?(,，)=0

∴，

(2)设为平面DEF的法向量，则

即

令z=1，则m=(，，1)．

又平面BCD的法向量为n=(0，0，1)，由m、n的方向知，

当二面角E―FD―B设为时，cos=，