Question

【题目】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．

Answer 1

【答案】7

【解析】

根据题意，将Sn＝3an﹣2变形可得Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，两式相减变形，并令n＝1求出a1的值，即可得数列{an}是等比数列，求得数列{an}的通项公式，再由错位相减法求出Tn的值，利用Tn＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．

根据题意，数列{an}满足Sn＝3an﹣2，①

当n≥2时，有Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，②，

①﹣②可得：an＝3an﹣3an﹣1，变形可得2an＝3an﹣1，

当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，

则数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则an＝（）n﹣1，

数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1+23×（）2+……+n×（）n﹣1，③

则有Tn2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④

③﹣④可得：Tn＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1）﹣n×（）n，

变形可得：Tn＝4+（2n﹣4）×（）n，

若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，

分析可得：n≥7，故满足Tn＞100的最小的n值为7；

故答案为：7．