Question

设函数，.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点.
（3）设为函数的极小值点，的图象与轴交于两点,且，中点为，
求证：．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求,在上恒成立，反解参数,转化成恒成立问题，利用基本不等式求的最小值问题；
（2）先求函数的导数，因为,所以设,分情况讨论在不同情况下，的根，通过来讨论，主要分以及的情况，求出导数为0的值，判断两侧的单调性是否改变，从而确定极值点；
（3）,两式相减，结合中点坐标公式，,表示出,设出的能表示正负的部分函数，再求导数，利用导数得出单调性，从而确定.
试题解析：（1）
依题意得，在区间上不等式恒成立.
又因为，所以.所以，
所以实数的取值范围是.                2分
（2），令
①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；          ..3分
②当时，
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；          .4分
（ⅱ）当，即时，
易知，当时，，这时；
当或时，，这时；
所以，当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
综上，当时，函数没有极值点；                    .6分
当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.      8分
（Ⅲ）由已知得两式相减，
得：       ①
由，得       ②得①代入②，得

=                10分
令且
在上递减，          12分