Question

【题目】如图，四边形是平行四边形，，，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

取AB中点O，推导出，，，从而平面ABCD，进而，再求出，从而平面AED，由此能证明平面平面AED；
过A作于点G，则即为直线AB与平面BED所成的角，由此能求出直线AB与平面BED所成角的正弦值；
3二面角的平面角与二面角的平面角互补，从而问题转化为求二面角的正弦值，过A作于点G，过A作于点H，则即为二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．

（1）证明：取中点，

易知四边形是平行四边形，

则又，，

∴，

∴

又，，

∴，

∴

又，

∴平面，

∴

在中，由

得，

∴

∴，又，

∴面

又平面，

∴平面平面

（2）过作于点，

由（1）知平面，

则即为直线与平面所成的角

又

∴

∴直线与平面所成角的正弦值为

（3）∵二面角的平面角与二面角的平面角互补，

∴问题转化为求二面角的正弦值

过作于点，过作于点，

由（1）知即切二面角的平面角

∵∴

又∴

∴二面角的正弦值为.