Question

【题目】已知点H（0，﹣8），点P在x轴上，动点F满足PF⊥PH，且PF与y轴交于点Q，Q为线段PF的中点．
（1）求动点F的轨迹E的方程；
（2）点D是直线l：x﹣y﹣2=0上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点，连接DM交曲线E于点N，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（x，y），∵Q是PF的中点，Q在y轴上，P在x轴上，

∴P（﹣x，0），又H（0，﹣8），∴kPF= ，kPH= ，

∵PF⊥PH，∴ ，即x2=4y．

∴动点F的轨迹E的方程x2=4y

（2）解：证明：设直线AB的方程为y=kx+b，

联立方程组 ，消去y得：x2﹣4kx﹣4b=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，且△=16k2+16b．

以点A为切点的切线的斜率为kP= x1，其切线方程为y﹣y1= x1（x﹣x1），

即y= x1x﹣ x12，

同理过点Q的切线的方程为y= x2x﹣ x22，

联立方程组 得 ，

即D（2k，﹣b），∵D在直线x﹣y﹣2=0上，

∴2k﹣（﹣b）﹣2=0，即b=2﹣2k，

所以直线AB的方程y=kx+2﹣2k，即y=k（x﹣2）+2，显然该直线恒过定点（2，2）．

【解析】（1）设F（x，y），用x，y表示出P点坐标，求出PF、PH的斜率，根据PF⊥PH列方程化简即可；（2）设AB方程为y=kx+b，联立方程组得出A，B坐标的关系，利用导数的几何意义得出切线方程，从而求得D点坐标，得出k，b的关系，即可得出结论．