【题目】有2012位学者参加某数学会议，他们中有些人相互认识，且满足：
（1）每个人至少认识其中的671个人；
（2）对于其中任意两个人
、
，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在
，使得认识
，
认识
，
认识；
（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.
证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.
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【题目】（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
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【题目】平面上有奇数条线段，甲乙两人做如下游戏：两人轮流（甲先乙后）给任一条尚未设定方向的线段设定一个方向，直至某次（甲）设定后，所有线段各有了一个方向为止.如果最后得到的所有向量之和的模长不小于原来每条线段长，则甲获胜，否则乙获胜.问：谁有必胜策略？证明你的结论.
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【题目】对于正整数
，若存在1，2，…，的一个排列
满足
（
），则称为“循球数”.证明：
（1）9、11都是循环数；
（2）为循环数的一个必要不充分条件是
为质数.
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【题目】为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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