Question

【题目】已知向量，函数的最小值为.

（1）当时，求的值；

（2）求；

（3）已知函数为定义在上的增函数，且对任意的都满足，问：是否存在这样的实数，使不等式对所有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)；(3).

【解析】分析：（1）数的最小值为.利用向量的乘积运算求出的解析式，求出最小值可得，当时，可得的值；
（2）根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求；
（3）假设存在符合条件的实数，则依题意有，对所有θ恒成立．设，则，利用三角函数的有界限转化为勾勾函数的求最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围．

详解：

（1）设，则

当时，在为减函数，

所以时取最小值.

（2），，其对称轴为，

当，即时，；

当，即时，；

综上，

（3）假设存在符合条件的实数，则依题意有，

对所有恒成立.

设，则，

∴，恒成立

即，恒成立，

∵，

∴

∴，恒成立

令

由在上单调递增

则

∴

所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为..