Question

【题目】已知某条地铁线路通车后，地铁的发车时间间隔为t（单位：分钟），并且．经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时，地铁为满载状态，载客量为450人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为258人，记地铁载客量为（单位：人）．

（1）求的解析式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量．

（2）若该线路每分钟的利润为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大？

Answer 1

【答案】（1），载客量为375人，（2）15分钟

【解析】

(1)根据题设设出的表达式，根据求出的值，即可得出的解析式，求出即可得出发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量；

(2)由的解析式得出的解析式，利用函数单调性的定义以及反比例函数的性质得出的单调性，比较两段的最大值，即可得出线路每分钟的利润最大时，发车时间间隔.

（1）由题意知（k为常数）．

因为，得，

所以

所以，即当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量为375人．

（2）由可得

当时，，

任取，且，

则．

因为，所以，

所以，

所以在上为增函数，最大值为．

当时，，

当时等号成立，所以当发车时间间隔为15分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元．