Question

如图，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

2

，F1、F₂分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且

F1M

.

F2M

=-

1

4

．
（I）求双曲线的方程；
（II）设A（m，0）和B(

1

m

，0)（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和．

Answer 1

分析：（I）设点M（x，y），根据题设条件联立方程求得M的坐标，根据

F1M

.

F2M

=-

1

4

.求得a，b和c的关系利用a²+b²=c²求得c，b和a，答案可得．
（II）设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），则可表示出直线l的方程，直线与双曲线联立方程，可求得x₁x₂的表达式，求得x₂的表达式，同理可求得x₃的表达式，最后得出以x₂=x₃，判断出故直线DE垂直于x轴．

解答：（I）解：根据题设条件，F₁（-c，0），F₂（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足

x=- a2 c y=- b a x.

因e=

c

a

=

5

2

，解得M(-

2a

5

，

2b

5

)，
故

F1M

.

F2M

=(-

2a

5

+c，

2b

5

)．(-

2a

5

-c，

2b

5

)=

4

5

a2-c2+

4

5

b2=-

1

4

.
利用a²+b²=c²，得c2=

5

4

，于是a2=1，b2=

1

4

.
因此，所求双曲线方程为x²-4y²=1．

（II）解：设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），则直线l的方程为y=

y1

x1-m

(x-m).
于是C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）两点坐标满足

y= y1 x1-m (x-m)① x2-4y2=1②

将①代入②得（x₁²-2x₁m+m²-4y₁²）x²+8my₁²x-4y₁²m²-x₁²+2mx₁-m²=0．
由已知，显然m²-2x₁m+1≠0．于是x1x2=-

x12-2mx1+m2x12

m2-2x1m+1

.
因为x₁≠0，得x2=-

x1-2m+m2x1

m2-2x1m+1

.
同理，C（x₁，y₁）、E（x₃，y₃）两点坐标满足

y= y1 x1- 1 m (x- 1 m ) x2-4y2=1.

可解得x3=-

x1-2 1 m +( 1 m )2x1

( 1 m )2-2x1m+1

=-

m2x1-2m+x1

1-2x1m+m2

.
所以x₂=x₃，故直线DE垂直于x轴．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．