Question

已知函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围；
（2）求：g（a）的解析式；
（3）求：探究g（a）的单调性和最值．

Answer 1

分析：（1）先根据根号内有意义求出自变量的范围，再对t两边平方结合x的范围即可求出结论；
（2）直接根据

1-x2

=

1

2

t²-1即可求出m（t），g（a）即为函数M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值；然后再结合二次函数在闭区间上的最值求法分对称轴和区间的三种位置关系分别讨论即可．（注意开口方向）
（3）①当a＞-

1

2

时，g（a）=a+2是增函数，值域为（

3

2

，+∞）；②当-

2

2

＜a≤-

1

2

时，g（a）=-a-

1

2a

是增函数，g（a）的值域为（

2

，

3

2

]；③当a≤-

2

2

时，g（a）=

2

是常函数，g（a）的值域为{

2

}．由此能求出g（a）的单调性和最值．

解答：解：（1）令t=

1+x

+

1-x

，
要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范围[

2

，2]．
（2）由（1）知，

1-x2

=

1

2

t²-1
∴M（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，（

2

≤t≤2）
由题意得g（a）即为函数M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值，
注意到直线t=-

1

a

是抛物线M（t）的对称轴，分别分以下情况讨论．
当a＞0时，y=M（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=M（2）=a+2．
当a=0时，M（t）=t，t∈[

2

，2），∴g（a）=2；
当a＜0时，函数y=M（t），t∈[

2

，2]图象开口向下；
若t=-

1

a

∈（0，

2

]，即a≤-

2

2

时，则g（a）=M（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即-

2

2

＜a≤-

1

2

时，则g（a）=M（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=M（2）=a+2．
综上得：g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

．
（3）①当a＞-

1

2

时，g（a）=a+2是增函数，值域为（

3

2

，+∞）；
②当-

2

2

＜a≤-

1

2

时，g（a）=-a-

1

2a

是增函数，g（a）的值域为（

2

，

3

2

]；
③当a≤-

2

2

时，g（a）=

2

是常函数，g（a）的值域为{

2

}．
综上所述，g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

的最小值为

2

，无最大值．

点评：本题主要考察分段函数的应用问题以及分类讨论思想的应用．解决本题的关键在于第一问中的t的取值范围不能出错．而第三问涉及到二次函数在闭区间上的最值讨论，一定要注意讨论对称轴和区间的位置关系．