Question

已知扇形OAB的半径为1，面积为

π

3

，设弧AB上有异于A，B的动点C，线段OC与线段AB交于点M，N为OM的中点，则∠AOB=

2π

3

；若

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，则x+y=

1

2

．

Answer 1

分析：由扇形OAB的半径为1，面积为

π

3

，知

AB

=

π

3

，由此能求出∠AOB．由弧AB上有异于A，B的动点C，线段OC与线段AB交于点M，N为OM的中点，取

AB

的中点为C，利用特值法能求出x+y．

解答：解：∵扇形OAB的半径为1，面积为

π

3

，
∴

AB

=

π

3

，
∴∠AOB=

2π

3

．
∵弧AB上有异于A，B的动点C，线段OC与线段AB交于点M，N为OM的中点，
∴可以取

AB

的中点为C，
如图，以OA，OB为邻边作平行四边形AOBP，
连接OP，交AB于M，取OA中点D，取OB中点E，取OD中点F，取OE中点G，
则

ON

=

1

4

OP

=

1

4

OA

+

1

4

OB

，
∵

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，
∴x+y=

1

2

．
故答案为：

2π

3

，

1

2

．

点评：本题考查圆心角的求法，考查平面向量的基本运算，解题时要认真审题，注意特殊值的合理运用．