Question

 

    已知四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且AB=AP=a.

   （I）若E、F分别是PA、BC的中点，证明EF//平面PCD；

   （II）若G为AB中点，求证：二面角G—PC—D的大小为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 证明：（I）取PD中点M，连接EM，MC则EM//AD，   …………2分

    EM=0.5AD=0.5BC=FC，

    ∴四边形EFCM是平行四边形，即EF//CM.

    又平面PCD，

    EF平面PCD，因此EF//平面PCD. …………6分

   （II）由（I）知交于A点的三条棱互相垂直，

    如图建立坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），

C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），

   …………8分

设平面的法向量为，       …………10分

设平面PCG的法向理为

则且

得一组解

∴设平面PCD的一个法向量为

则

得一组解

∴平面PCG的一个法向量为

，

即平面PCD⊥平面PCG，

故二面角G—PC—D的大小为       …………12分