Question

设f（x）是定义在R⁺上的函数，并且对任意的正实数x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
求证：（1）f（1）=0；
（2）f(

1

x

)=-f(x)；
（3）若x，y∈R⁺，则f(

x

y

)=f(x)-f(y)．

Answer 1

分析：（1）采用赋值法解决．在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1即可得；
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=

1

x

可得；
（3）直接利用f（xy）=f（x）+f（y）进行变形即可得．

解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1得：
f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0．
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=

1

x

得：
f（1）=f（x）+f（

1

x

）
∵f（1）=0，
∴f(

1

x

)=-f(x)；
（3）由f（xy）=f（x）+f（y）得：
f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

×y），即f（

x

y

）+f（y）=f（x）
∴f(

x

y

)=f(x)-f(y)．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．