Question

设函数f（x）=
（Ⅰ）若f（x）在x=1，x=处取得极值，
（i）求a、b的值；
（ii）在存在x₀，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，求c最小值
（Ⅱ）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

解：（I）（1）∵，∴．（1分）
∵f（x）在x=1，x=处取得极值，∴（2分）
即解得
∴所求a、b的值分别为-（4分）

（ii）在存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，
由==，
∴时，f'（x）＜0，故f（x）在是单调递减；
当时，f'（x）＞0，故f（x）在是单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴是f（x）在上的极小值．（6分）
，
且，
又e³-16＞0，∴，
∴[f（x）]min=f（2），∴，∴c的取值范围为，
所以c的最小值为-．（9分）

（Ⅱ）当a=b时，f'（x）=，
①当a=0时，f（x）=1nx．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从面得，此时f（x）在（0+∞）上单调递减；
综上得，a的取值范围是．（14分）
分析：（I）（i）先对函数进行求导，根据函数在取得极值，则，代入可求a，b的值．
（ii）转化为c≥f（x）_min，从而求函数f（x）在区间上的最小值，从而求c的值
（II）当a=b时，f（x）=
①a=0符合条件
②a≠0时，分a＞0，a＜0讨论f′（x）在（0，+∞）上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围
点评：本题（I）（i）考查了函数取得极值的性质：若函数在x₀处取得极值?则f（x₀）=0，但f′（x₀）=0，x₀不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件．
（ii）注意是“存在”，使得c≥f（x₀）成立?c≥f（x₀）_min；
若是“任意”使得c≥f（x）恒成立?c≥f（x）_max，要区别两种不同的情况．
（II）结合极值考查函数的单调性，需要注意分类讨论的思想在解题中的应用．