Question

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；
（1）已知f(x)=

x2-mx+1

x

的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2^x-n（x-1），求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，求正实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

x2-mx+1

x

的图象关于点（0，1）对称，知f（1）+f（-1）=2，由此能求出m．
（2）当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），故g（-x）=-2^-x-n（-x-1）=2-g（x），由此能求出函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式．
（3）由-tf（t）=-（t²+t+1）＜-1，知g（x）≥-1，由y=2^-x与y=-n（x+1）（n＞0）单调递减，知g（x）=2^-x-n（x+1）+2，在x∈（-∞，0）上单调递减，由此能求出正实数n的取值范围．

解答：（本题12分）
解：（1）∵f(x)=

x2-mx+1

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（1）+f（-1）=

1-m+1

1

+

1+m+1

-1

=2，
解得：m=-1．（2分）
（2）∵g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2^x-n（x-1），
∴x∈（-∞，0），-x∈（0，+∞），
g（-x）=-2^-x-n（-x-1）=2-g（x），
2-g（x）=-2^-x-n（-x-1），
∴g（x）=2^-x-n（x+1）+2，x∈（-∞，0）．（6分）
（3）∵对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，
-tf（t）=-（t²+t+1）＜-1，
∴g（x）≥-1-----（8分）
∵y=2^-x与y=-n（x+1）（n＞0）单调递减；
∴g（x）=2^-x-n（x+1）+2，在x∈（-∞，0）上单调递减；（10分）
∴g（0）≥-1，∴2+1-n≥-1，
又∵n＞0，∴0＜n≤4．（12分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查函数解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．