Question

抛物线P：x²=2py上一点Q（m，2）到抛物线P的焦点的距离为3，A、B、C、D为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），-x₀＜x₁＜x₀＜x₂，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．
（1）求p的值；
（2）证明：∠BAC的角平分线在直线AD上；
（3）D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m+n=

2

|AD|，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）由|QF|=3=2+

p

2

，能求出p．
（2）由抛物线方程为x²=4y，知A（-x0，

x 2 0

4

），D（x0，

x 2 0

4

），B（x1，

x 2 1

4

），C（x2，

x 2 2

4

），由y′=

x

2

，知KBC=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，由此能推导出∠BAC的角平分线在直线AD上．
（3）设∠BAD=∠CAD=α，则m=n=|AD|sinα，sinα=

2

2

．由此能推导出直线BC的方程．

解答：解：（1）∵|QF|=3=2+

p

2

∴p=2（2分）
（2）∴抛物线方程为x²=4y
A（-x0，

x 2 0

4

），D（x0，

x 2 0

4

），B（x1，

x 2 1

4

），C（x2，

x 2 2

4

）∵y′=

x

2

∴KBC=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

∴x₁+x₂=2x₀∵KAC=

x 2 2 4 - x 2 0 4

x2+x0

=

x2-x0

4

KAB=

x 2 1 4 - x 2 0 4

x1+x0

=

x1-x0

4

∴KAC+KAB=

x2-x0

4

+

x1-x 0

4

=

x 1+x2-2x0

4

=0
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，所以∠BAD=∠CAD∴∠BAC的角平分线在直线AD上（6分）
（3）设∠BAD=∠CAD=α
则m=n=|AD|sinα∴sinα=

2

2

，∵α∈(0.

π

2

)∴α=

π

4

∴lAC：y-

x 2 0

4

=x+x0即y=x+

x 2 0

4

+x0
把l_AC：y=x+

x 2 0

4

+x0与抛物线方程x²=4y联立的x²-4x-4x₀-x₀²=0∴-x₀x₂=-4x₀-x₀²∴x₂=x₀+4
同理可得x₁=x₀-4∵-x₀＜x₀-4＜x₀∴x₀＞2∴S△ABC=

1

2

|AB||AC|=

1

2

2

(4+2x0)

2

(2x0-4)=4(

x

2 0

-4)=48
∴x₀=4（10分）∴B（0，0）∴l_BC：y=2x（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．