Question

设函数f(x)=

1

3

x3-mx2+(m2-4)x， x∈R．
（Ⅰ）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个不相同的零点0，α，β（α＜β），且对任意的x∈[α，β]，都有不等式f（x）≥f（1）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（II）本小题利用导数来研究恒成立问题．先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数f（x）的零点分布问题，最后转化为一个一元二次方程的根的分布问题．

解答：解：（Ⅰ）当m=3时，f(x)=

1

3

x3-3x2+5x，则f'（x）=x²-6x+5．
又∵f(2)=

2

3

，f′(2)=-3
∴切点为(2，

2

3

)，切线斜率为-3
故切线方程为y-

2

3

=-3(x-2)．
即切线方程为9x+3y-20=0．
（Ⅱ）f'（x）=x²-2mx+m²-4，故令f'（x）=0，可得x=m-2，或x=m+2．
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（-∞，m-2）上递增．
当x∈（m-2，m+2）时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（m-2，m+2）上递减．
当x∈（2+m，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2+m，+∞）上递增．
由于函数f（x）有三个不同的零点0，α，β（α＜β），且f(x)=

1

3

x[x2-3mx+3(m2-4)]，∴

3(m2-4)≠0 (3m)2-12(m2-4)＞0

解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）
①当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，故α＜m-2＜β＜m+2＜0
由f（1）＞f（α）=0，可知此时不存在符合条件的实数m．
②当m∈（-2，2）时，③m-2＜0＜m+2，故α＜m-2＜0＜m+2＜β．
由于f（x）在区间[α，β]内的最小值为f（m+2），
∴只要f（m+2）=f（1）．就有x∈[α，β]时，总有f（x）≥f（1）成立．
∴只要m+2=1，∴m=-1．
③当x∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，故0＜m-2＜α＜m+2＜β．用与②相同的方法，
可得m+2=1，即m=-1，但-1∈（2，4），此时不存在符合条件的实数m
综上可知，实数m的值为-1．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想、分类讨论思想．