Question

关于函数f(x)=sin(2x-

π

4

)，有下列命题：
①其表达式也可写成f(x)=cos(2x+

π

4

)；
②直线x=-

π

8

是f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数g（x）=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
则其中真命题为

②④

．

Answer 1

分析：分别根据三角函数的图象和性质进行判断即可．

解答：解：①函数f(x)=sin(2x-

π

4

)=cos（

π

2

-2x+

π

4

）=cos（

3π

4

-2x）=cos（2x-

3π

4

），∴①错误．
②当x=-

π

8

时，f(-

π

8

)=sin?[2×(-

π

8

)-

π

4

]=sin?(-

π

2

)=-1，为函数的最小值，
∴直线x=-

π

8

是f（x）图象的一条对称轴，∴②正确．
③函数g（x）=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到g（x-

π

4

）=sin2（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

），∴③错误．
④由f（x+α）=f（x+3α）得sin[2(x+α)-

π

4

]=sin[2(x+3α)-

π

4

]，
即sin(2x+2α-

π

4

)=sin(2x+6α-

π

4

)，
∴当2α-

π

4

=π-(6α-

π

4

)，解得α=

3π

16

，满足条件条件，∴④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查三角函数函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式和三角关系式是解决本题的关键．