Question

如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠MOP=x(0＜x＜π)，

OQ

=

OM

+

OP

，四边形OMQP的面积为S，函数f(x)=

OM

•

OQ

+

3

S．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f(A)=3，a=2

3

，b=2，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知M（1，0），P（cosx，sinx），故

PQ

=（1+cosx，sinx），

OM

•

OQ

=1+cosx，S=sinx，由此能求出函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）根据f（A）=3可求出A，然后利用正弦定理求出角B，最后根据勾股定理可求出c的值．

解答：解：（1）∵点M是单位圆O（O是坐标原点）与X轴正半轴的交点，
∴M（1，0），
∵点P在单位圆上，∠MOP=x，OQ=OP=OM，
∴P（cosx，sinx），
∴

PQ

=（1+cosx，sinx），

OM

•

OQ

=1+cosx，
∵S=sinx，
∴f（x）=1+cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

）+1，0＜x＜π，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
∵0＜x＜π，
∴函数f（x）的单递增调区间为（0，

π

3

]．
（2）∵f（A）=3∴2sin（A+

π

6

）+1=3∴sin（A+

π

6

）=1
在△ABC中，0＜A＜π，

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

由a=2

3

，b=2及正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

即

2 3

sin π 3

=

2

sinB

∴sinB=

1

2

∵0＜B＜π，B＜A∴B=

π

6

∴C=

π

2

∴c²=a²+b²=16
∴c=4

点评：本题主要考查了函数单调递增区间，以及正弦定理，注意单位圆及三角函数知识的合理运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．