Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；
（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a²（1-x）恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0，由二次不等式的解法可求
（2）f（x）=0时△=8a，二次函数的图象开口向上，分类讨论①△≤0②△＞0两种情况分别进行求解
（3）任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立①当x=0时，不等式显然成立②当x∈（0，2]，可得-a2+2a+2≤x+

1

x

，通过研究函数x+

1

x

的最值可求a的范围

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0
∴1＜x＜5-----（2分）
（2）f（x）=0时△=8a--（4分）
当a≤0，x∈Φ；-----（6分）
当a＞0，a+1-

2a

＜x＜a+1+

2a

---（8分）
（3）由题意：任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立
当x=0时，不等式显然成立--（10分）
当x∈（0，2]，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，(x=1 时取等)
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
综上：a≤0或a≥2---（16分）

点评：本题主要考查了二次不等式的解法，二次不等式的恒成立问题的应用及利用基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．