Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）+f（-x）=0；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）；
（3）如果x∈R时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（-x）+f（x）=0．
（2）由f（-3）=af（3）=-a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=-8a．
（3）设x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上是减函
数，∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
．
分析：（1）令x=y=0得f（0），再令y=-x得f（-x）=-f（x）变形．
（2）由（1）知得f（3）=-a，再由f（24）=f（3+3++3）=8f（3）求解．
（3）要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明．设x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）在R上是减函数，得到结论．
点评：本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性．