Question

f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）的图象是经过点（3，-6），顶点为（1，2）的抛物线的一部分，
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出其图象．并写出f（x）的单调区间（不用证明）．

Answer 1

分析：（1）由x≥0时f（x）的图象是顶点为（1，2）的抛物线，可设f（x）=a（x-1）²+2，图象过（3，-6）点，代入可求a的值，即得f（x）的解析式；由f（x）为奇函数，求出x＜0时f（x）的解析式．
（2）画出函数图象，从左向右图象上升是增函数，对应区间是单调增区间；图象下降是减函数，对应区间是单调减区间．

解答：（1）∵x≥0时f（x）的图象是顶点为（1，2）的抛物线，∴设f（x）=a（x-1）²+2，
又f（x）的图象过（3，-6）点，∴a（3-1）²+2=-6，∴a=-2；
即f（x）=-2（x-1）²+2．
当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=2（-x-1）²-2=2（x+1）²-2，
∴f（x）=

-2(x-1)2+2(x≥0) 2(x+1)2-2(x＜0)

；
（2）画出函数图象，如图：；
单调增区间是[-1，1]，单调减区间是（-∞，-1]，[1，+∞）．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，以及利用图象判定函数的增减性的知识，是基础题．