Question

（2012•宝鸡模拟）平面内点P与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（其中a＞0）连线的斜率之积为非零常数m，已知点P的轨迹是椭圆C，离心率是

2

2

．
（1）求m的值；
（2）设椭圆的焦点在x轴上，若过点（2，3）且斜率为-1的直线被椭圆C所截线段的长度为

20 3

3

，求此椭圆的焦点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x和y的关系式，对k的范围进行分类讨论，看k的范围根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得m的值．
（2）设出所求直线方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a值，从而解决问题．

解答：解：（1）依题意可知

y

x+a

•

y

x-a

=m，整理得y²-mx²=-ma²，
当m＜0时，方程的轨迹为椭圆：

x 2

a 2

+

y 2

-ma 2

=1，
当椭圆的焦点在x轴上时，∴c=

a 2+ma 2

=

(m+1)a 2

∴e=

c

a

=

m+1 |a|

|a|

=

m+1

=

2

2

，∴m=-

1

2

；
当椭圆的焦点在y轴上时，c=

-a 2-ma 2

=

(-m-1)a 2

，
∴e=

c

a

=

-m-1 |a|

| -m a|

=

-m-1

-m

=

2

2

，
∴m=-2．
（2）过点（2，3）且斜率为-1的直线方程为y-3=-（x-2），
联立得：

x2+2y2=a2 x+y-5=0

，从而有：3x²-20x+50-a²=0，
∵△=20²-4×3×（50-a²）=4（3a²-50）≥0，
设两交点的坐标分别为：（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

20

3

，
x₁x₂=

50-a2

3

，
所截线段的长度为d=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

2( 20 3 )2-8× 50-a2 3

=

20 3

3

，
解得a=

10 6

3

，
此时焦点坐标为（±

10 3

3

，0）．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合，考查了学生对圆锥曲线标准方程的求解和应用．属于中档题．