Question

【题目】已知函数．

1若，求函数的单调区间；

2若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，以在单调递增，单调递减；(当时，在单调递增，，单调递减；（2） .

【解析】

1 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；2求出的最大值，问题等价于，即，对恒成立，求出函数的导数，通过讨论的范围，结合函数的单调性，可筛选出符合题意的的范围．

1由题意，

.

当时，，令得；，得，

所以在单调递增，单调递减；

(当时，，令得；

令，得或，所以，在单调递增，，单调递减.

2令，，

当时，，单调递增，则，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立.

当时，，，，此时，

不合题意，舍去 .

当时，令，，

则，其中，，

令，，则在区间上单调递增.

当时，，所以对，，

则在上单调递增，故对任意，，

即不等式在上恒成立，满足题意

当时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，．

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意．

综上所述，.