Question

【题目】过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.

现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.

（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）求的面积（用，，表示）；

（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.

Answer 1

【答案】（1）焦点坐标：，准线方程：；（2）；（3），

【解析】

（1）将抛物线方程化为标准方程后即可求得焦点坐标和准线方程；

（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求得，根据可整理得到，代入整理可得结果；

（3）由（2）知，继续求解阿氏三角形面积可知，进而分析得到；可知为无穷等比数列，利用无穷等比数列前项和的极限的求法可求得结果.

（1）由得：

抛物线焦点坐标为，准线方程为：

（2）将代入抛物线方程得：，则

设，

则中点，

又，

（3）设是抛物线上的任意一条弦，由（2）知

设弦、的阿氏三角形依次为，

上述讨论表明，阶中的每一个阿氏三角形都可以生成阶中的两个阿氏三角形，且后者的面积之和是前者面积的

阶中的个阿氏三角形面积之和与阶中的个阿氏三角形面积之和满足

是首先为，公比为的无穷等比数列