Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x∈ ．

Answer 1

【答案】（﹣2, ）
【解析】解：由题意得，函数的定义域是R，

且f（﹣x）=（﹣x）3+3（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），

所以f（x）是奇函数，

又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，

所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），

由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，

则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，

等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，

所以 ，解得﹣2＜x＜ ，

即x的取值范围是（﹣2， ），

所以答案是：（﹣2， ）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．