Question

【题目】平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为，且

（I）求点P的轨迹C的方程；

（II）是否存在过点A的直线与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）存在过点A的直线：x=1，理由见解析．

【解析】试题分析：（1）设点 坐标，利用两点间距离公式及题中给出的等式可求得的轨迹方程。（2）分两种情况讨论：一、斜率不存在；二、斜率存在。当斜率不存在时，很容易求得三角形面积，满足题中条件；当斜率存在时，可设直线方程，可求得 的长度，及 到的距离，利用三角形面积为 可求得直线的斜率，得直线方程。

（Ⅰ）设P（x，y），

则，d2=，

∵，∴=，

整理得： ,

∴点P的轨迹C的方程为 ．

（II）存在过点A的直线，与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF．

理由如下：

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，

直线过圆心， ， 点到直线的距离为1，

此时，，所以成立．

②当直线斜率存在时，设方程为：．

点到的距离，利用勾股定理，得：

．

点到的距离，

，

整理得，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．

综上，存在过点A的直线：x=1，满足题意．