Question

【题目】设函数，其中， 是自然对数的底数.

（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.

试题解析：

（Ⅰ）， 是上的增函数等价于恒成立.

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求导得，

令， ， 是上的减函数，

又，故1是的唯一零点，

当， ， ， 递增；当， ， ， 递减；

故当时， 取得极大值且为最大值，

所以，即的取值范围是.

（Ⅱ） .

令（），以下证明当时， 的最小值大于0.

求导得 .

①当时， ， ；

②当时， ，令，

则 ，又 ，

取且使，即，则 ，

因为，故存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极小值点，又，

且，即，故，

因为，故是上的减函数.

所以 ，所以.

综上，当时，总有.