Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且sinAcosB=

1

3

，sinBcosA=

1

6

，△ABC的外接圆半径R=3．
（1）求角C．
（2）求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由sinC=sin（A+B）可求得sinC=

1

2

，从而可求得角C；
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a²+b²-

3

ab=9 或  a²+b²+

3

ab=9，再由sinAcosB=

1

3

得a²-b²=3，从而可得

a

b

的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，sinAcosB=

1

3

，sinBcosA=

1

6

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

1

2

∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3    （8分）
∴c²=a²+b²-2abcosC
即 a²+b²-

3

ab=9 或  a²+b²+

3

ab=9（9分）
又由 sinAcosB=

1

3

，
得 

a

2R

•

a2+c2-b2

2ac

=

1

3

∴a²-b²=3，（11分）
∴2a²±

3

ab-4b²=0     
解得

a

b

=

35 ± 3

4

．（14分）

点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．