Question

已知圆经过点（-1，0）和（3，0）且与x=4相切
（1）求圆的方程；
（2）若直线l的斜率是2，并且截圆所得到的弦长为2

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆经过两点坐标，求出圆心横坐标，再由圆与x=4相切，求出圆的半径，进而求出圆心纵坐标，确定出圆心坐标，即可得出圆的方程；
（2）根据直线l斜率为2，设直线l方程为y=2x+m，分两种情况考虑：（i）若圆心是（1，

5

）；（ii）若圆心是（1，-

5

），分别利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出直线l方程．

解答：解：（1）设圆心为（a，b），半径为r，
∵（-1，0）、（3，0）在圆上，
∴a=

-1+3

2

=1，
又圆与x=4相切，∴半径r=4-1=3，
∴b²+2²=3²，
∴b²=5，∴b=±

5

，
∴所求的圆的方程是（x-1）²+（y-

5

）²=9或（x-1）²+（y+

5

）²=9；
（2）设直线方程为y=2x+m，
（ⅰ）若圆心是（1，

5

），弦心距d=

9-( 5 )2

=2，
∴

|2×1- 5 +m|

5

=2，
∴2-

5

+m=±2

5

，
∴m=3

5

-2或m=-

5

-2，
此时，直线方程是y=2x+3

5

-2或y=2x-

5

-2；
（ⅱ）若圆心是（1，-

5

），同理得

|2×1+ 5 +m|

5

=2，
∴2+

5

+m=±2

5

，
∴m=

5

-2或m=-3

5

-2，
此时，直线方程是y=2x-3

5

-2或y=2x-

5

+2．

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．