Question

(2005福建，21)如下图，已知方向向量为的直线l过点(0，)和椭圆C：(a＞b＞0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)直线．　　　　　　　　　　　　　① 过原点垂直l的直线方程为．　　　　　　　　　　　　　② 解①②得． ∵椭圆中心O(0，0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴． ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)． ∴c=2，，． 故椭圆C的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　③ 解法二：直线． 设原点关于直线l的对称点为(p，q)，则 解得p=3．∵椭圆中心O(0，0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．∴． ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)． ∴c=2，，．故椭圆C的方程为．　　　　　　　③ (2)解法一：设M(，)、N(，)． 如下图，当直线m不垂直x轴时，直线m∶y=k(x＋2)代入③，整理得， ∴，， 点O到直线MN的距离． ∵， 即， ∴． ∴．∴， 即，整理得．故， 如下图，当直线m垂直x轴时，也满足． 故直线m的方程为 或． 经检验上述直线均满足． 所以所求直线方程为． 解法二：设M(，)、N(，)． 当直线m不垂直x轴时，直线m∶y=k(x＋2)代入③，整理得，于是． ∵E(－2，0)是椭圆C的左焦点， ∴ ． 以下与解法一相同．

提示：

剖析：本题考查向量、椭圆及对称等综合知识，考查直线与椭圆的位置关系．