Question

【题目】已知函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+，x∈R．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）=，a=，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) [kπ﹣，kπ+]，k∈Z (2)

【解析】试题分析：（I）由两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式可将解析式化简为，由，可得的单调递增区间；（II）由题意可得，结合范围，解得的值，由余弦定理可得结合基本不等式可得，利用三角形面积公式即可得结果.

试题解析：（1）∵f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+

=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+

=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+

=sin2x﹣×+

=sin（2x﹣），

由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）∵f（A）=sin（2A﹣）=，解得：sin（2A﹣）=，

∵0，﹣＜2A﹣＜，

∴解得：2A﹣=，即A=．

∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴S△ABC=bcsinA=bc≤=．